in

Matematiğin Kum Saati

  Geometrinin altın çağının son temsilcisi olarak bilinen Apollonios, değeri binlerce yıl sonra anlaşılan bir matematikçidir, daha çok “Pergeli Apollonios” diye anılır. Yunan matematikçi Apollonios günümüzden 3000 yıl kadar önce Antalya şehir merkezine 18 km uzaklıkta olan, MÖ 1200 yıllarında “tüm kavimlerin ülkesi” olarak bilinen Pamfilya bölgesine başkentlik yapmış perge şehrinde yaşamıştır. 

  Apollonious’un geometri alanına olan ilgisi kum saatinin içindeki kumların aldığı şekilleri inceleme ile başlar ve koni kesitleri ile devam eder. Koni kesiti, koni ile bir düzlemi kesiştirdikten sonra elde ettiğimiz şekildir. Apollonius, dairesel tabanlı ve tepesinin her iki tarafından sonsuza kadar uzatılmış koni yüzeyinin düzlemin farklı durumları ile  kesişimini inceleyerek, oluşan eğriler hakkında tanımlamalar yapmıştır. Koni kesitlerinin “çember, elips, hiperbol ve parabol” olacağını ilk kez bize gösteren Apollonius oldu. Ayrıca, merminin yörünge denkleminin bir parabol olacağı yine Apollonius tarafından bulunmuştur. Apollonious koniler konusunda ki ayrıntılı çalışmalarını sekiz ciltlik “Konikler” eserinde toplamıştır. Bir dönem İskenderiye’ye giderek tarihin kaydettiği il müze olan İskenderiye Kütüphanesi’nde Öklid’in kurduğu en büyük matematik okulunun en önemli üyelerinden oldu. Burada Öklid’in öğrencilerinden matematik öğrenmiş daha sonra kendisi de burada ders vermiştir. Konikler kitabını yazacak ilham burada gelmiş ve kitabının önsözüne şunları eklemiş: “İskenderiye’ye geldiğinde bende kalan geometrici Naucrates’in isteği üzerine konuyla ilgilenmeye başladım. Bulduklarımı sekiz ciltte toparlayıp hemen kendisine verdim çünkü denize açılması gerekiyordu. Kitap aceleye geldi, yeterince gözden geçiremedim. Gözden geçirmeyi en sona erteleyerek aklıma gelen bir şeyi hemen yazıyordum.” Bu eserlerden ilk yedisi günümüze kadar zamanın bilim dili Arapça tercümesi ile taşınabilmiş fakat son cilt hala kayıp. Bu eser yeryüzünün en uzun süre okunan kitaplardandır.

Apollonius’un konikler üzerine olan çalışmaların diğer bir hizmeti de, güneş ve gezegenlerin yörüngelerini hesaplamasında kullanmasıdır. Bu konuda yaptığı çalışmalarla matematiksel astronominin kurucusu olarak da kabul edilir.

 Geometri dünyasında ilgi çeken diğer bir yaklaşımı ise çemberin tanımıdır. Çember belirli bir noktadan (çemberin merkezi) eşit uzaklıktaki (yarıçap) noktalar kümesi olarak tanımlanır.        

 Apollonius ise çemberi belirli A ve B odak noktalarının uzaklıklarının oranı birden farklı bir sabit  = d1/d2   sayıya eşit olan düzlemdeki noktalar kümesi olarak tanımlar.

Apollonius Çemberi

 Apolonius’un bu tanımın doğruluğu basit vektör bilgisi ile gösterilebilir. Öncelikle amacımızın P noktasının çemberin üzerinde olduğunu göstermek olduğunu unutmayalım.

Kabul edelim ki d1 ve d2 birbirinden farklı pozitif reel sayılar olsun. C ve D noktaları ise AB yi içten ve dıştan d1.d2 oranında bölen noktalar olsun. Bu noktalar ile P noktasını birleştirdiğimizde elde ettiğimiz vektörleri aşağıdaki şekilde yazabiliriz:

 Son adımda elde ettiğimiz eşitliğin her iki tarafını (d2 + d1).(d2-d1) ile    böldüğümüzde aşağıdaki eşitliği elde ederiz: 

 Vektörlerin iç çarpımı sıfıra eşit ise karşımıza üç farklı durum çıkar:

 Son adımdaki ilk iki eşitlik bize P noktasının C noktasına veya D noktasına eşit olduğunu söyler, öyleyse her durum için P noktası çemberin üzerindedir. Üçüncü eşitlik ise  bize çember bilgimizi tazeletir ve çapı gören çevre açının  olduğunu hatırlarız.

Kaynakça

“Matematiğin Aydınlık dünyası” Sinan Sertöz
‘’Matematikçi Portreleri”, Ali Nesin, Ali Törün
Wikipedia
Youtube
avatar

Yazar Aygül Koçak

İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü / Matematik Bölümü Araştırma Görevlisi

blank

Zen Bizi Nereye Götürebilir?

blank

Avrupa’nın Vitrini